# Introduction ( ne pas étudier )

On parle de phénomènes aléatoires car nous ne contrôlons pas tout les paramètres de ces évènements.

Nous appliquons alors différentes méthodes d'analyse statistiques.

## Méthode

- **Statistique descriptive**: Peu vu dans ce cours, Se concentre sur les données elle même pour en
  tirer des conclusions.
- **Inférence Statistiques:** Déduire d'un échantillon de données, des propriétés intrinsèque.

## Méthode générale

1) Construction d'un échantillon (Observation) -> non vu en cours.
2) Exploration des données (Statistique descriptive) -> peu vu en cours.
3) Modèle probabiliste.
    - ex: Le nombre de voiture \\(\sim \mathbb{P}(\lambda) \\) (suit une loi de poisson)
4) Estimation du/des paramètres inconnus (inférence)
5) Prédiction

Le cours porte principalement sur le point 3 et 4

## Stats vs Proba

- La **Probabilité**: Théorie abstraite, mathématique, qui donne un sens à la notion de hasard.
Fournit des modèles théoriques pour l'analyse aléatoire.
- Les **Statistiques**: Méthode pour determiner le meilleur modèle probabiliste pour représenter un
  phénomène concret, basé sur des observations.

Les statistiques utilisent régulièrement les probas.

## Statistique descriptive

### Dimensions 1

\\( n \\) observations \\( \\{x_1, \dots, x_n\\} \\) sur un caractère fixé.

Pour résumer l'information obtenue nous allons fournir.

- **Indicateur de position**
    - <u>Moyenne empirique</u>: \\( \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_i^n x_i \\) 
    - <u>Médiane</u>: \\( m = inf\\{x_i \vert \text{la moitié des observation sont } \leq x_i\\} \\) 
    - <u>Valeur extrèmes</u>: \\( x_{(1)} = min\\{x_i\\} , x_{(n)} = max\\{x_i\\}\\)

- **Indicateur de dispersion**
    - <u>Variance empirique</u>: \\( s^2 = \frac{1}{n} \sum^n_i(x_i-\overline{x})^2 \\) 
    - <u>Ecart-type</u>: \\( s = \sqrt{s^2}\\) 

Nous préférons la moyenne empirique et la variance empirique

#### [Paradoxe de simpson](https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Simpson)

Une tendance observée dans 2 groupes de données peut s'inverser si les données sont combinées

Il faut donc faire attention aux manipulations de données

### Dimension 2

\\( n \\) couples d'observations \\( \\{(x_i, y_i) \\} \\) 

- **Indicateur de position**
    - séparement les \\( x_i \\)  et les \\( y_i \\)
        - \\( (\overline{x}, \overline{y}) \\) 
- **Indicateur de dispersion**
    - \\( s_{x}^2 = \frac{1}{n}\sum^n_i(x_i-\overline{x})^2 \\) 
    - \\( s_{y}^2 = \frac{1}{n}\sum^n_i(y_i-\overline{y})^2 \\) 
- **Indicateur de covariance**
    - \\( s_{xy} = \frac{1}{n}\sum^n_i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\) 
        - Orientation des données
    - Trouver la droite de régression: \\( d \equiv y = ax+b \\) qui minimise les erreurs
        - \\( E(a,b) = \sum^n_i\varepsilon_i^2 = \sum^n_i(y_i-(ax_i+b))^2 \\) la somme des erreurs au carré
        - Trouver les dérivées partielles
\\[
    \frac{\partial E}{\partial a} = -2 \sum^n_i(y_i-ax_i-b)x_i \quad \text{et} \quad \frac{\partial E}{\partial b} = -2 \sum^n_i(y_i-ax_i-b) \\\\
    \begin{array}{l}
        \Leftrightarrow
        \left\\{ 
            \begin{array}{l}
                \frac{\partial E}{\partial a} = 0 \\\\
                \frac{\partial E}{\partial a} = 0
            \end{array}
        \right. 
        \Leftrightarrow
        \left\\{ 
            \begin{array}{l}
                a\frac{1}{n}\sum_i^nx^2_i = \frac{1}{n}\sum_i^nx_iy_i-b\frac{1}{n}\sum_i^nx_i \\\\
                nb = \frac{1}{n}\sum_i^ny_i- a\frac{1}{n}\sum_i^nx_i \\\\
            \end{array}
        \right. 
        \Leftrightarrow
        \left\\{ 
            \begin{array}{l}
                a(s^2_x + \overline{x}^2) = (s_{xy} + \overline{x}\overline{y} - b\overline{x})\\\\
                b = \overline{y} - a\overline{x}
            \end{array}
        \right. \\\\
    \Leftrightarrow as^2_x = s_{xy} \Rightarrow 
    \left\\{
        \begin{array}{l}
        a = \frac{s_{xy}}{s^2}\\\\
        b = \overline{y} - \frac{s_{xy}}{s_x^2}\overline{x}
        \end{array}
    \right.
    \end{array}
\\]





