# Optimisation Combinatoire

## Définition

- **Problème d'optimisation combinatoire**:
    - **ensemble fini** de solutions admissibles \\( \Omega \\),
    - **fonction objectif** \\( f: \Omega \to \mathbb{R} \\) 
    - but: trouver \\( x^* \\) minimisant f 
    \\[ x^* = \arg\min\\{ f(x) \vert x \in \Omega\\} = \arg\min_{x\in\Omega} f(x)\\]

## Problème d'affectation

affecter n ressources à n activités à un cout total minimum (Assignment Problem)

\\[
    AP\left\\{ \begin{align}
        \min &\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c_{ij} x_{ij} \\\\
             &\sum_{i=1}^n x_{ij} = 1 \quad j = 1,..., n \\\\
             &\sum_{j=1}^n x_{ij} = 1 \quad i = 1,..., n \\\\
             & x_{ij} \in \\{0, 1\\} \quad i = 1, ..., n \quad j = 1, ..., n 
     \end{align} \right.
\\]

### Variante

affecter n ressources à n activité en minimsant le cout maximum de chaque ressource (min-max /
bottleneck)

\\[
    \left\\{\begin{align}
        \min & C_{max} \\\\
        &\sum_{i=1}^n x_{ij} = 1 \quad j = 1,..., n \\\\
        &\sum_{j=1}^n x_{ij} = 1 \quad i = 1,..., n \\\\
        &\sum_{j=1}^n c_{max} \quad i = 1, ..., n \\\\
        &x_{ij} \in {0, 1} \quad i = 1, ..., n \quad j = 1, ..., n \\\\
        &C_{max} \ge 0
    \end{align}\right.
\\]

## Problème de transport

Consommation <-> Production en minimisant le cout total de transport ( Transport Problem )

\\[
\left\\{\begin{align}
    \min &\sum_{i=1}^r \sum_{i=1}^s c_{ij}x_{ij} \\\\
    &\sum_{j=1}^s x_{ij} = q_i \quad i = 1, ..., r \\\\
    &\sum_{i=1}^r x_{ij} = d_j \quad j = 1, ..., s \\\\
    &x_{ij} \ge 0 \quad i=1,..., r \quad j=1,...,s 
\end{align}
\right.
\\]
en supposant que la production est égale à la consomation
\\[
    \sum_{j = 1}^s d_j = \sum_{i=1}^r q_i
\\]

### Problème du voyageur de commerce (TSP)

faire un circuit passant une seule fois par n villes de cout minimum

\\[
\left\\{\begin{align}
    \min &\sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^n c_{ij}x_{ij} \\\\
    &\sum_{j=1}^n x_{ij} = q_i \quad i = 1, ..., n \\\\
    &\sum_{i=1}^n x_{ij} = d_j \quad j = 1, ..., n \\\\
    &\sum_{i \in Q}\sum_{j \in \overline{Q}} x_{ij} \ge 1 \quad Q\subset \\{1,...,n\\} \quad \overline{Q} =
    \\{1, ..., n\\} \backslash Q \\\\
    &x_{ij} \in \\{0, 1\\} \quad i=1,..., n \quad j=1,...,n 
\end{align}
\right.
\\]

C'est en fait un problème d'affectation relaxé
